数列的通项公式

揭示数列的神秘面纱：相邻项之差与通项公式

我们有一组数列，其相邻两项之间存在微妙的差异。具体来看：

第二项与第一项之差为2，即 a_2 - a_1 = 2。

第三项与第二项之差为4，即 a_3 - a_2 = 4。

第四项与第三项之差为8，即 a_4 - a_3 = 8。

这些差值呈现出一个等比数列的形态，公比为2。而原数列的每一项，都可以被表达为前一项加上这个等比数列的和。

那么，这个等比数列的和是如何计算的呢？公式如下：

∑ k=1^(n-1) 2^k = 2^(n+1) - 2。这个公式为我们揭示了等比数列求和的奥秘。

基于上述分析，我们可以推导出原数列的通项公式。这个公式是：a_n = 2^n + 1。这意味着每一项都是2的n次方加1。

让我们验证一下这个公式是否准确：

当n=1时，2^1 + 1 = 3，符合a_1的值。

当n=2时，2^2 + 1 = 5，符合a_2的值。

当n=3时，2^3 + 1 = 9，符合a_3的值。

当n=4时，2^4 + 1 = 17，符合a_4的值。

我们还可以验证这个数列的递推关系：每一项都是前一项的2倍再加1，即a_n = 2a_(n-1) + 1。这个递推关系进一步证实了我们的通项公式是正确的。

我们找到了这个数列的通项公式：a_n = 2^n + 1。这个公式简洁而富有力量，能够揭示数列中每一项的秘密。